文 观察者网心智观察所

雅可比猜想, 在1939年, 被数学家Ott - Heinrich Keller所提出, 它曾被当作代数几何领域里极为重要的尚未解开的谜题当中的一个。过去87年, 世界顶尖数学家持续尝试去证明这个猜想, 然而常常一直无法获得突破。直至如今, Claude Fable找到了一种简单的三维多项式映射, 很轻易地就给出了令人惊讶不已的答案: 在极为漫长的近一个世纪时间里, 被人们尽力去证明的雅可比猜想, 竟然是错误的。

一条改变数学史的简短宣告

2026年7月20日, 身为兼任Anthropic研究员的哈佛大学数学家的Levent Alpöge, 在社交媒体上发布了一条简短消息, 直接地宣布雅可比猜想是错的, 随后感谢了他那位“在世界杯决赛期间还在干活的好朋友”, 也就是Claude Fable。

谁都能够验证的一串简单多项式被附在了正文底下, 它是雅可比猜想的反例。

有一条猜想, 它是在1939年被提出来的, 还被写进了21世纪数学问题清单里, 困扰了几代数学家, 结果却轻易就被一条社媒动态里短短数行字给推翻了。这个消息迅速传播开来, 众人都急忙纷纷去核对。AI竟然能够把突破性的数学成果以这样一种随意的方式呈现出来, 从而引起了不小的轰动。伦敦玛丽女王大学的数学家Abhishek Saha表明, 到目前为止, 这很可能是AI参与度最高的一个数学猜想, “此事绝非寻常, 在过去一年里, AI的进步确实十分惊人。”。

一个80年的数学迷思

我们起始于一个直观问题, 持续拉伸、扭曲一张橡皮膜, 但规定任何极小区域都不可被压扁, 也就是不能降维。数学家会进行发问, 若每一个局部区域的维度都不存在破损, 那么在整张橡皮膜上, 能确定一定不会出现这种折叠情况吗, 即两个位置变成相同一点的此种情况。

这正是雅可比猜想试图回答的问题。

考虑一个多项式映射：

F: ℂⁿ → ℂⁿ

那什么才是多项式映射呢, 简单来讲, 就是将处于一个n维空间里的点, 借助几个多项式公式, 转移到同一空间的另外一组坐标之上, 二维空间的映射是F(x,y)=(f(x,y),g(x,y)), 三维空间的映射是F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)), 能够把映射F看成是一种变形操作, 它能够进行压缩, 能够进行拉伸, 能够进行扭曲, 能够进行平移。

雅可比行列式其实就是对雅可比矩阵进行行列式运算所得到的结果, 至于这雅可比矩阵它的元素呢是由映射的偏导来构成。

存在这样一种情况, 一个微小空间经过映射后的体积变化率能够被理解成雅可比行列式。当雅可比行列式等于 -2 的时候, 这就意味着那个微小空间的体积被放大到了原来的两倍, 并且还发生了方向的翻转。当雅可比行列式不等于 0 的情况下, 依据反函数定理, 这个映射在局部必定存在逆变换, 它不会将一个立体空间压缩成为低维平面。

但问题在于：局部可逆，是否意味着整体可逆？

假设存在这样一种情况, 对于一个多项式映射而言, 其雅可比行列式在整个空间里始终保持等于某个并非零的常数, 那么按照雅可比猜想的观点, 这个映射必然存在一个多项式逆映射存在。也就是说, 当橡皮膜上的每一个微小区域, 均不存在被压扁也就是降维的状况, 并且每一个点处它的局部体积缩放率都完全保持一致, 那么从整体上来说, 就绝对不应该发生折叠, 也绝对不应该出现橡皮膜上有两个互不相同的位置被揉到同一个点的那种情况。

这是一道典型具备“从局部朝着全局推进”特征令人头疼的数学难题, 自1939年被提出来之后, 雅可比猜想对数学界持续困扰近87年, 进而成为现代代数几何领域里极为著名的问题当中的一个。

世界杯决赛夜的反例：AI如何颠覆87年的信念

2026年7月19日, 这一天正好是世界杯决赛夜, 这个时候Alpöge跟好友Akhil Mathew探讨雅可比猜想, Mathew提出了一个重要问题, 那就是能不能找到雅可比猜想的反例, Alpöge把这个任务交给了AI模型。

世界杯决赛, 喧嚣声起, 此时, AI模型仍在持续工作, 它并未依照人类的思考路径去对猜想予以证明, 而是径直于三维空间里抛出了一个简易的反例。

这个三维多项式映射是：

F: ℂ³ → ℂ³

R = 2x − 3x²y − x³z

这个映射具有两个令人震惊的性质。

首先, 它符合对于雅可比猜想的相关要求, 经计算得出其雅可比行列式始终恒等于负二, 这意味着，不论x、y、z选取怎样的值, 都肯定不会出现局部被降维的情形, 依据雅可比猜想所言, F的逆函数理应存在。

第二，它却不是一一对应。AI找出了三个完全不同的点：

A = (0, 0, −1/4)

B = (1, −3/2, 13/2)

C = (−1, 3/2, 13/2)

它们都被F映射到了同一个点：(−1/4, 0, 0)。

首先是, 三个处于完全不一样状态的位置, 被映射到了同一个地方, 这就表明了F没有逆函数。其次因为的是, 要是F的逆函数存在, 那么F(A)的逆函数, 就得同时与A、B、C相等, 可明显这是不可能的。

这一反例, 精简得令人难以想象, 优雅得让人瞠目结舌, 已达令人发指之境。随便哪一个学过微积分的学生, 皆能够自己去求偏导进而加以验证。那些大受震撼的教授们与学生们, 争着去进行求证, 最后发现结果全然正确。

伦敦玛丽女王大学的Abhishek Saha表明, 存在一些问题, 解决起来颇具难度, 然而一旦拥有了解决方案, 验证起来就会相当简便。此反例便是如此。我不清楚他究竟是怎样达成的, 给AI的提示究竟是什么, 毕竟穷举所有皆不可行。

雅可比猜想与张益唐

雅可比猜想具备重要性, 原因在于该猜想把多个数学领域相关联起来: 代数几何领域、交换代数领域、奇点理论领域、微分拓扑领域。美国数学家史蒂夫·斯梅尔（Steve Smale）曾把雅可比猜想纳入21世纪数学的18个重要问题之内, 成为其中之一。

诸多研究表明, 于诸多特殊情形下, 只要达成雅可比条件, 映射的确可逆。数学家们持续发觉, 低维情形成立, 特殊类型成立, 某些高阶情形成立, 如此结果亦强化了人之直觉, 雅可比猜想理应是真, 只是证明颇难。与此同一时间, 人之直觉倾向认定局部维度无损失, 且每一处缩放率全然一致, 那么整体上便不会出现折叠。于是众人皆沿着证明之路往下行径。

雅可比猜想, 和数学家张益唐, 二者之间存在着一段特殊的、陈年的旧事。在80年代的时候, 年轻的张益唐在美国普渡大学攻读博士, 其研究方向恰好就是二维版雅可比猜想。他所撰写的博士论文《The Jacobian Conjecture and the Degree of Field Extension》, 尝试从一个特殊的角度切入雅可比猜想, 然而, 他给出的证明依赖了其导师莫宗坚此前发表的一个引理, 可随后这个引理遭到了证伪, 如此一来, 证明链条便无法成立了。这场挫折, 极大地干扰了他的学术路径, 使得在他博士毕业之后, 没办法获取导师的推荐信, 进而难以在学术界站稳脚跟。

87年来为何无人发现？

那么, 有一个问题自然而然地出现了, 这个反例这般简单, 多项式的次数处于如此低的程度, 系数同样小, 在87年这个时间段里, 难道竟没有任何人进行过一回范围较小的穷举搜索吗, 难道没有人知晓转一个别的方向吗?

是否存在答案！或许答案是在于数学研究的那种思维惯性。数学家们习惯于去做证明这件事, 而不是去寻找反例。然而, AI并没有这种惯性, 它能够在人类很难进行搜索的巨大空间当中探索, 挖掘出人类思维盲区里的可能性。

如果确认，又意味着什么？

如果这个反例通过数学界的严格验证，其影响将是巨大的。

第一, 它表明雅可比猜想并非难以证明, 而是错误的, 87年的研究方向需要重新梳理。

其一, 数学里头“局部去控制整体”的这种思想将会遭受冲击, 以往好多数学家都坚信, 只要每一个点附近不存在问题, 那么整体的结构就不会出现差池, 而当前这个反例确切地表明, 高维度空间之中极有可能隱蔽着更为繁杂的折叠状况, 是这样的一种情况。

第三, 新阶段为AI进入数学研究领域。以往人们所探讨的是, AI究竟能不能对定理予以证明? 然而这一事件抛出了另外一种可能性, 即在AI助力之下, 人类能够去探究人所提出的问题本身与否是正确的。

然而, 这并非表明雅可比猜想的全部版本都会宣布消亡。此反例是于三维空间里证伪了该猜想, 不过二维版本在理论层面上依旧有可能是正确的。并且有学者提示, 寻得反例并不等同于构建全新数学分支, 后者依旧需要人类的创造力。

AI会成为数学家的实验机器吗？

对于数学证明而言, 依旧是需要严格逻辑的, 在一个AI找出候选反例后, 人类数学家就得去验证公式, 还得检查计算, 接着建立严格证明, 并且判断其理论意义, 这并不意味着就被AI给代替了。

但AI使一件事发生了改变, 过去, 数学家的搜索空间存在局限, 眼下AI能够探索数百万甚至数十亿种结构, 类似于物理学里的实验, 在伽利略之前, 人类单单依赖直觉去猜测, 等到实验出现后, 自然规律才开始接受检验, 未来, AI或许会成为数学家的实验设备, 它不会替代数学家提出深刻的问题, 然而能够告知人类, 这个方向走了差不多一个世纪, 实际上是走入了歧途。

属于AI的数学大航海时代已经来临

先说欧几里得几何过渡到非欧几何, 再说经典物理转变为量子力学, 科学史上每次重大转折, 都是起始于某种“理所当然”被打破的时刻。

87年以来, 数学家们是沿着一条看上去仿佛笔直的道路去行进的, 具体为提出来猜想, 寻觅证明, 构建理论。每一个人都坚信雅可比猜想是真实的。原因在于它实在是太直观了。然而Claude Fable在世界杯决赛的那个夜晚所给出的回答, 把人的认知给逆转了。这个反例的令人震撼之处并非在于它是多么的复杂, 而恰恰在于此, 87年以来, 没有任何一个身为人类的数学家会想到要去到这个简单反例的角落那里瞧上一眼。

这便是AI所引发的转变, 往昔的数学研究好似于一片被知晓的海域里航行, 数学家依据直觉、经验以及深厚的学养, 挑选最具希望的方向去开展探索, 此种模式造就了无数的辉煌, 然而也放任了人类思维的惯性, 我们一贯倾向于去证明那些“理应是对的”事物, 而非去质疑那些“明显成立”的前提。

此惯性AI并不具备, 它不崇拜猜想, 不畏惧权威, 不会被显而易见之物所左右, AI甘愿驶向任何一片未知之海域, 哪怕此刻看去那里空无一物。

未来, 或许数学家跟AI的关系, 会变成探险家同罗盘的关系, 人类负责去提出深刻问题, 以此指引向前的方向, 而AI负责探索那些人类直觉触碰不到的隐秘角落, 随后告知人类, 你走的路是死胡同, 你觉得不存在的东西实际上就在那儿。

这是关于雅可比猜想的故事阐述, 更是针对未来数学的一种前瞻预言, 属于人工智能的数学大航海时代已经实实在在就此来临了。