文 观察者网心智观察所

四年才举办一回的国际数学家大会, 从来都不单单只是一场学术相关的峰会, 它更是被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹奖的桂冠被揭晓的那个时刻。

对于中国数学界而言, 对菲尔兹奖的等待时长实在太漫长, 7月23日, 这个令人心潮澎湃的时刻, 终究是降临了。

中国有数学家, 北京大学数学科学学院2007级的王虹、邓煜获了奖, 这是“同届双响”, 其写下了菲尔兹奖90年历史上的好多“第一次”。这不光是第一次有拥有中国国籍的数学家拿到这个奖, 还是第一次有亚洲国家达成“同届双响”, 进而让中国变成继美国、法国、英国、俄国之后, 达成这一成就的第五个国家。

可以参看心智观察所此前 的那篇文章, 讲到了王虹、邓煜的故事, 其中提到王虹、邓煜菲尔兹奖“双响”泄露, 从“四常”到“五常”改写90年历史。

两位获奖的中国数学家，左为王虹、右为邓煜

这次与之共同获奖的约翰·帕登（John Pardon）, 鉴于他有着深厚的中文造诣, 使得本届菲尔兹奖跟中国的渊源又增添了一份内容。本文会向中国读者讲述他那传奇的故事。

再有的两名获奖之人, 左边站着的那位是John Pardon , 右边站立着的那位是Jacob Tsimerman。

三十七岁的约翰·帕登, 身处低维拓扑与辛几何以及代数拓扑相交叉产生的地带, 当下在西蒙斯几何与物理中心与普林斯顿大学任职, 早就被认定为现今国际数学界里最具深远影响力的青年数学家当中的一员。

他的人生轨迹，几乎可以写成一部现象级的学术传奇：

年仅十九岁, 那时还在普林斯顿攻读本科, 他却解决了一道被尘封长达三十年的几何拓扑难题, 他所撰写的论文直接登上了数学领域最具声誉的《数学年刊》。

二十七岁，被普林斯顿大学破格聘为全职正教授；

三十三岁，已将全球数学界的诸多重磅奖项收入囊中。

那么更让人觉得惊奇的是, 在数学这个领域, 它高度抽象, 门槛很高, 而且非常耗费心力, 在这片疆域之外, 他有着令人惊叹的跨界人生, 他是一位大提琴演奏家, 曾经两次获得协奏曲比赛大奖, 他还是一位中文通, 能够熟练引用《论语》典故, 还曾代表普林斯顿大学参加国际大专辩论赛, 并且一举夺冠。

约翰·帕登处于普林斯顿大学, 在那里黑板之上记录着数学公式, 同时还有唐诗《江雪》。来源属于普林斯顿大学。

在算法与几何中萌芽的天赋

约翰·帕登, 于一九八九年六月, 出生在了美国北卡罗来纳州查佩尔希尔的一个学术氛围浓厚的家庭里。他的父亲威廉·帕登, 是杜克大学一位颇有名气的教授, 在数学领域, 属于知名人士, 其一生都深入钻研代数K理论以及拓扑学。

自幼沉浸于浓郁学术氛围之中, 小帕登对逻辑结构以及数学秩序展现出超乎寻常的直觉, 那份特质自幼年起始就有体现了。直至中学阶段, 常规课程难以承载他如泉涌般的才智。于北卡罗来纳科学与数学学校就读之际, 他已然开始前往杜克大学旁听高等数学的课程了。

他对计算机科学与算法同样有着极深热情, 并非仅仅局限于纯粹的数学推导, 二〇〇五年到二〇〇七年期间, 帕登连续三年代表美国队参加国际信息学奥林匹克竞赛, 三次将金牌收入囊中, 二〇〇七那年, 即将高中毕业的他, 依靠一项针对平面曲线凸化问题的研究, 在全美知名的英特尔科学人才探索奖评选中荣获第二名。

在那其中研究里头, 他把离散几何范畴的“木匠尺问题”, 也就是“Carpenter's Rule Problem”, 给拓展到平面可求长曲线那儿, 证实了任何平面可求长若尔当曲线, 倘若都能够在不使得长度受到改变的情况下, 另外还不会让曲线上任意两点相互靠近, 于此种前提之下, 连续进行变形, 最终成为一条凸曲线。这项工作后来在专业数学期刊上发表出来。就在那一年, 怀揣着对于几何形态改变以及空间拓扑连续性的深入思考, 帕登迈入了普林斯顿大学的校门。

攻克悬案，本科成名

2007年秋季时分, 帕登正式进入普林斯顿大学数学系就读。于这座汇聚众多天才的殿堂之中, 他迅速跨越基础课程, 径直去选修大量处于研究生阶段甚至前沿研讨班等级别的几何以及拓扑课程。

真正让他名震全球学术界的工作，发生在大三那年。

拓扑学里, 存在着一个极为经典且内涵深刻的领域, 那便是结理论, 它也被称作Knot Theory。简单来讲, 结是这样一种东西, 它是处于三维空间里的, 一条首尾相连, 并且不会自己相交的封闭曲线。在平常生活当中, 要是绳子被打了结, 而且没有上锁, 也没有被剪断, 那么就没有办法解开。而在数学范畴内, 判断一个结能不能通过连续变形, 也就是不剪断且不自己相交, 从而还原成最简单的没有结的环, 这也就是Unknot, 此乃拓扑学的核心问题中的一个。

在一九八三年的时候, 米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhail Gromov）, 作为二十世纪最伟大的几何学家当中的一位, 提出了极为著名的“平凡结扭曲度猜想”（Distortion of the Unknot）。之后, 格罗莫夫竟然还定义了结的“扭曲度”（Distortion）这样一个概念, 而这个概念是专门用来量化一个结在三维空间里究竟被“拧”得有多紧的。格罗莫夫作出推测, 在空间里, 针对哪怕是任何没办法解开的非平凡结, 它的扭曲度都存在一个清晰明确的下界, 绝对不可能无限小；详细来讲，特定种类的环面结的扭曲度能够任意大。

三十年间 , 无数顶尖拓扑的学家 , 曾朝着这一猜想的方向, 发起冲击 , 然而都没有取得成功 , 空手而归。因为内里牵扯到极度复杂的有关空间几何的分析 , 以及度量几何的控制 , 所以就导致这一问题 , 甚至被部分学者 , 认为已经超出了当时数学工具所能够触及到的边界。

普林斯顿读大三时, 帕登注意到了这个难题。校报以及官方档案有记载 , 他曾承认自己起初也走过弯路: “我曾觉得花两星期就解决了它 , 后来发觉那纯粹是毫无意义的逻辑破绽。”。

但是他没有选择退缩, 而是再次去整理离散几何跟网格分析的工具。等到大四的时候, 他最终找到了能够突破困局的关键——巧妙地引入紧致曲面上的微观几何控制, 借助网格收缩以及积分几何里的填充半径估计, 构建起一套精细且崭新的几何不等式。

他最终证实, 你确实没办法在不改变环面结几何形状的情形下将其化为平凡, 环面结的扭曲程度会随着交点数量增加而能够达到任意大, 进而彻底证实了格罗莫夫的猜想。

这份单作者撰写的、篇幅长达数十页的论文，在二〇一一年之时, 被《数学年刊》接收并予以发表。本科生单独在这类顶级型的期刊之上发表论文的情况, 着实是非常少见的。

帕登凭借这项具有里程碑意义的工作, 荣获二〇一二年度摩根奖, 该奖项由美国数学学会、美国数学协会与工业与应用数学学会联合颁发, 这一奖项被公认为是全球本科生数学研究的最高荣誉。

二〇一一年五月, 帕登作为毕业生代表, 在普林斯顿毕业典礼上传致辞, 其成绩为全校第一名。当时, 数学系内部有这样的评价流传: 约翰·帕登是普林斯顿数学系历史上极为出色的本科生之一 , 他足以与约翰·米尔诺这位一九六二年菲尔兹奖得主相媲美。

从希尔伯特猜想到辛几何

2011年本科毕业以后, 帕登去到斯坦福大学攻读数学博士学位, 他的导师是世界级辛几何专家雅克夫·埃利亚施贝格, 也就是Yakov Eliashberg。在斯坦福的那四年时间里, 他没有沉浸于过去所获得的赞誉之中, 而是把眼光投向了更为宏大且困难的代数拓扑以及辛几何前沿领域。

在博士阶段的时候, 帕登率先将拓扑变换群范畴里的百年谜题, 也就是希尔伯特 - 史密斯猜想的三维状况给解决了。希尔伯特第五问题是对连续群的微分结构展开探讨的, 而希尔伯特 - 史密斯猜想是它的重要拓展延伸: 这个猜想宣称, 要是有一个局部紧拓扑群能够有效且连续地作用于一个流形之上, 那么这个群必定是李群。解决这一问题的要点在于把所谓的“p - 进整数群”在流形上的连续作用给排除掉。此前，数学界仅证得在一维和二维流形上的情形。

二〇一三年, 帕登凭借极小曲面理论（Minimal Surfaces）,运用同调论的高级工具, 构建了三维流形上连续作用的度量收缩机制, 最终完全证明了三维流形上的希尔伯特 - 史密斯猜想, 此一重大成果刊载于权威期刊《美国数学会杂志》, 再度使拓扑学界受到震动。

在博士毕业之前以及之后的这段时期里, 帕登着手去攻克辛几何也就是Symplectic Geometry里最为关键同时也是最为难解决的底层技术方面的瓶颈问题, 此问题是关于伪全纯曲线模空间上的“虚拟基础环”即Virtual Fundamental Cycles的构造, 而辛几何是源自经典力学的哈密顿体系的, 它处于现代物理学跟几何学相交汇的最为前沿的位置。格罗莫夫提出的伪全纯曲线, 是研究辛流形拓扑性质的核心所需工具，其模空间通常非常状况不佳, 欠缺良好横截, 奇点充斥且维数退化, 致使代数拓扑意义里积分和计数几乎难以确定。这当中的情况就是如此。

二十余年间, 全球有多位顶尖几何学家, 曾提出不同的虚拟技术框架, 然而, 因为技术繁杂, 且推导冗长, 还容易产生细微漏洞, 所以在该领域内, 一直缺少一个被公认的, 严谨、通用还可操作的基础。

帕登依靠超乎寻常的代数拓扑能力, 自己创建了一套基于“隐式流形”（Implicit Manifolds）的全新抽象架构, 用优雅且统一的形式重新搭建了伪全纯曲线模空间上的虚拟基础环, 并且严谨地证明了触同调的收敛性与代数结构。这一组工作为整个辛拓扑领域清除了长达数十年的基础性阻碍, 让原本摇摇欲坠的复杂计算屹立在坚如磐石的严格数学基础之上。

正是这一系列, 那般具有开创性意义的功绩, 使得帕登在科研学术之经历, 得以迅猛前行, 步入发展快速的轨道: 处于二〇一五年之时, 他顺遂取得母校授予的博士生学术头衔, 还得了那个克雷研究专属学者的称许；到来年转变年号为二〇一六年之际, 很年轻只二十七岁的样子, 他就被普林斯顿大学直接任用, 担当全职正式教授职位；二〇一七年, 他得到来自美国国家科学基金会所颁授的, 最为顶尖的青年科学家相关奖项, 也就是阿兰·沃特曼奖, 并且还收获了高达百万美元的科研资金帮助；二〇二一至二〇二二年期间, 他连续不断地分别荣获布拉瓦尼克国家青年科学家奖, 以及含金量颇高的克雷研究奖；在二〇二二年这一转瞬, 帕登加入了西蒙斯几何与物理中心, 成为该中心的终身不会变故、永远存在着且没有任何变动不确定性的核心成员。 标点符号没忘吧、逗号之类保证全乎齐全的！

汉字与辩论：华语辩论赛冠军

要是讲帕登于数学方面获取的成果早就能够叫人感慨其天赋之高, 那么他于语言文学范畴所拥有的造诣, 就完全冲破了人们对于传统“数学理工男”那种刻板的印象。在普林斯顿度过的本科四年当中, 除去深奥的研究生数学课程之外, 他的另外一个主要学术兴趣, 居然是中文。

高中阶段, 他曾对西班牙语展开系统学习, 步入大学后, 他下定决心去挑战一门全新的语言。在谈及为何会选择中文时, 帕登给出了一个极为契合“数学家本性”的理由: “那时我浏览了学校里的所有语言课程, 发觉中文的文字系统在所有选项当中是最难且最为复杂的。既然打算学习, 那就挑选最难的去挑战。”。

自最初识得汉字笔画后起, 帕登呈现出恰似对待数学证明那般的严谨以及狂热。在第一学年结束之际的夏天, 他报名参与了普林斯顿声名远扬的中文沉浸式项目“北京暑期中文学校”。

在北京待的两个月时间当中, 他严格依照“只许陈述中文、不许表述英文”这般的铁定规则, 走到街上去同当地人展开交谈, 深度去体会中国文化。返回普林斯顿之后, 他持续跟着任职于普林斯顿大学东亚研究系的教授, 作为知名中文教学专家的周质平教授深入学习高阶中文。

在接受采访时, 周教授后来曾有所感慨, 在他几十年的教学生涯期间, 像帕登这样的外籍学生极其罕见, 帕登能在短短四年内从零基础彻底将高阶中文掌握。周教授特别进行提及, 帕登的中文表达不光词汇量多、逻辑清晰, 并且还自带一种语言风格, 这种语言风格极其雄辩、生动且富有幽默感。

帕登的中文水平绝非仅仅局限于日常交流阶段, 而是已然抵达能够深入领会中国古典文学当中所蕴含的种种精妙以及诸多复杂、深邃之多面向社会议题的幽深程度, 真是令人惊叹不已。

在二〇一一年四月, “汉语桥”世界大学生中文比赛美东地区预赛在纽约举办, 这是第十届该比赛美东地区预赛, 有七十七所高校的二十七名精通中文的人一同竞争。帕登演讲时表达流畅自然, 恰似行云缓缓流动的水那般, 在才艺以及问答环节, 更体现出对于中国历史典故十分深入的领悟, 所以最终一下子就获得了全场总冠军。

曾经, 他于普林斯顿院校就读之时, 以主力辩手身份加入中文辩论队伍, 代表学校前往新加坡参与国际大学群英辩论会非华裔组赛事, 在中央电视台以及国际电视台播出的比赛里, 同全球众多顶尖名牌学校的辩论赛选手进行交锋, 最后引领团队勇敢夺取该组别全球总冠军。

约翰·帕登在左边第二个位置, 有三名普林斯顿大学的本科生, 参加了2010年, 由新加坡传媒集团举办, 同时也是中国中央电视台主办的国际校际辩论赛。

在辩论台上, 他可以极为熟练地去引用《论语》《孟子》里面的警句, 凭借敏捷的逻辑来应答对方的质询, 这让人不由发出赞叹。好多接待过帕登访问的中国数学家回忆说, 在北京大学、清华大学或者西湖大学举办学术研讨会的时候, 他们趁着间隙跟帕登交流, 他常常能够直接转换成极为标准、流利的中文普通话, 不但毫无阻碍地用中文去探讨复杂的拓扑概念, 还能够阅读中文的数学历史文献以及文学作品了。

帕登的心灵栖息地, 除了数学逻辑跟汉字音律之外, 是音乐。他从六岁开始, 就着手练习大提琴。漫长成长时光里, 大提琴一直陪伴着他进行数学研究。在普林斯顿读本科时, 他身为数学系的“神童”, 也是普林斯顿大学管弦乐团以及室内乐团的核心成员, 还曾两次荣获协奏曲比赛大奖。在乐团同僚以及音乐教授看来, 帕登在大提琴演奏里展现出的专注, 跟他进行数学推导的状态一模一样。在演绎方面, 他特别擅长巴赫的无伴奏组曲, 同时, 他也擅长贝多芬, 以及勃拉姆斯的室内乐作品。

John Pardon 在普林斯顿交响乐团的那场演出里演奏大提琴, 来源是Princeton University。

帕登在不少采访里多次提到音乐跟拓扑学有着微妙的关联, 这种情况就像大提琴弦线发生振动, 声波于此空间当中进行传播, 还跟几何流形的连续类弯曲一样, 本质上去分享一种有关“形态与和谐”的抽象意义美感。数学利用严密逻辑来描绘空间结构表现, 音乐却是凭借声波以及时间去填充空间情感表达。

结语

于当代的科学界之中, 各个学科划分得愈发细致, 研究的壁垒修筑得不断增高, 学者们常常是不得不终身都会局限于极为狭窄的专业细分下来的相关领域里。

然而, 约翰·帕登的经历呈现出别样可能, 是出自古典学术时代的, 有着灵性以及跨界探索特质的纯粹学者模样。从饱含理性逻辑的代数拓扑, 到需要细腻情感的大提琴弓弦, 还到蕴含博大精深意味的汉字与汉语辩论, 帕登于不同知识与艺术领域间来去自如, 通畅无阻。

对这位低调、严谨且极具传奇色彩的学者来讲, 菲尔兹奖或许仅是学术界针对他往昔贡献作出的一项阶段性总结, 约翰·帕登在拓扑空间当中构建的深邃定理, 其在数学、音乐与语言间展现的广袤视野, 早就树立起了一座让人仰望的学术丰碑。